Poliedros


Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os
vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por
exemplo:
• tetraedro: quatro faces ; pentaedro: cinco faces ; hexaedro: seis faces ; heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces ; icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o
mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Fórmulas e Relações Importantes nos Poliedros:

1) Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V + F = A + 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:

2) Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Verifique que todos os poliedros regulares são platônicos, sendo que as faces são polígonos
regulares. Alguns autores não fazem a diferença entre poliedros regulares e platônicos, considerando sinônimos esses dois conceitos.

3) Contagem das arestas

a) Contagem pelos tipos de faces.

Vamos representar por f 3 o número de faces triangulares do poliedro, por f 4 o número de faces
quadrangulares, por f 5 o número de faces pentagonais, etc...Se contarmos as arestas de cada uma das faces, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para duas de suas faces. Logo, teremos:


b) Contagem pelos tipos de ângulos poliédricos

Vamos representar por v 3 o número de vértices com 3 arestas do poliedro, por v 4 o número de
vértices com 4 arestas, por v 5 o número de vértices com 5 arestas, etc...Se contarmos as arestas de cada um dos vértices, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para dois vértices. Logo, teremos:



4) Cálculo do número total de Diagonais de um poliedro convexo.


Sendo d = total das diagonais das faces do poliedro.
Lembrete: A contagem do número de diagonais de uma das faces é feita pela fórmula


n representa o número de arestas da face.

5) Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro
S = 360º . ( V – 2) (Faça, como exercício, a demonstração dessa fórmula)

COMPARTILHAR:

+1

5 Responses to "Poliedros"

  1. Parabens pelo blog cara, de verdade!
    me ajudou muito .. abraço

    ResponderExcluir
  2. Observando a primeira imagem dos 3 poliedros e comparando com a explicação de côncavo e convexo, que vem logo abaixo, não deveria ser o do meio o côncavo ao invés do último?

    ResponderExcluir
  3. Preciso que Vocês criem um poliedro de 10 faces ! vlw

    ResponderExcluir
  4. A informação sobre o poliedro não convexo da primeira figura está errada, conforme mencionado no comentário acima. O côncavo é o segundo e não o terceiro, de acordo com a descrição.

    ResponderExcluir

Postagem mais recente Postagem mais antiga Página inicial

Projeto Calouro Indica