Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os
vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por
exemplo:
• tetraedro: quatro faces ; pentaedro: cinco faces ; hexaedro: seis faces ; heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces ; icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o
mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Fórmulas e Relações Importantes nos Poliedros:

1) Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V + F = A + 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

2) Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Verifique que todos os poliedros regulares são platônicos, sendo que as faces são polígonos

regulares. Alguns autores não fazem a diferença entre poliedros regulares e platônicos, considerando sinônimos esses dois conceitos.

3) Contagem das arestas

a) Contagem pelos tipos de faces.

Vamos representar por f 3 o número de faces triangulares do poliedro, por f 4 o número de faces

quadrangulares, por f 5 o número de faces pentagonais, etc...Se contarmos as arestas de cada uma das faces, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para duas de suas faces. Logo, teremos:

b) Contagem pelos tipos de ângulos poliédricos

Vamos representar por v 3 o número de vértices com 3 arestas do poliedro, por v 4 o número de

vértices com 4 arestas, por v 5 o número de vértices com 5 arestas, etc...Se contarmos as arestas de cada um dos vértices, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para dois vértices. Logo, teremos:

4) Cálculo do número total de Diagonais de um poliedro convexo.

Sendo d = total das diagonais das faces do poliedro.

Lembrete: A contagem do número de diagonais de uma das faces é feita pela fórmula

n representa o número de arestas da face.

5) Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro

S = 360º . ( V – 2) (Faça, como exercício, a demonstração dessa fórmula)

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