Permutação Exercícios Resolvidos

Notação:

Se tivermos n elementos, sendo n₁ igual a a₁, n₂ igual a a₂, ..., n_p igual a a_p,o nº de permutações será:

Exemplos:

1) Considere as 5 letras da palavra “arara”. Vamos verificar quantas permutações distintas podem ser formadas com as 5 letras.

2) De quantas maneiras diferentes pode ser preenchido um talão de loteria esportiva com 5 “coluna um” , 6 “coluna do meio” e 2 “coluna dois”?

Solução:

Seja:

Logo o talão pode ser preechido de 36.036 maneiras diferentes.

3) Considerando os anagramas da palavra BATATA?

Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B,A_1,A_2,A₃,T₁,T₂, e o total de anagramas seria P₆ =6! Mas as permutações entre os 3 As não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir P₆por P_{3 .} O mesmo ocorre com os dois Ts. Precisamos dividir por P_2..Logo temos:

1) A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantos anagramas podemos formar com essa palavra?

Solução:

O número de permutações de uma palavra com sete letras distintas (MADEIRA)

é igual a 7! = 5040. Neste exemplo formaremos uma quantidade menor de

anagramas, pois são iguais aqueles em que uma letra A aparece na 2ª casa e a outra

letra A na 5ª casa (e vice-versa).

Para saber de quantas maneiras podemos arrumar as duas letras A, precisamos

de 2 posições. Para a prim

eira letra A teremos 7 posições disponíveis e para

a segunda letra A teremos 6 posições disponíveis (pois uma das 7 já foi ocupada).

A divisão por 2 é necessária para não contarmos duas vezes posições que formam o mesmo anagrama (como, por exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições e a 5ª e 2ª posições).

Agora vamos imaginar que as letras A já foram arrumadas e ocupam a 1ª e 2ª posições:

A A _ _ _ _ _

Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 letras distintas, ou seja, temos 5! = 120 possibilidades. Como as 2 letras A podem variar de 21 maneiras suas posições, temos como resposta: