Exercícios Função Exponencial

1) (PUCRS) Se $formdata=\Large+2^{2^{3^{x}}}=256$ , então x pertence ao intervalo

(A) [0; 1)
(B) (0; 2)
(C) (1; 2)
(D) (1; 3)
(E) (2; 3)

- Neste exercícios podemos dizer que a potência da esquerda tem "4 níveis". Temos que ir "cortando" um a um. Vamos igualar a primeira base:

*$formdata=\Large+2^{2^{3^{x}}}=256$* $formdata=\Large+2^{2^{3^{x}}}=2^8$	Agora podemos cortar a base 2.
$formdata={2^{3^{x}}}=8$ $formdata={2^{3^{x}}}=2^3$	Igualamos novamente, podemos cortar a nova base 2.
$formdata=3^{x}=3$	Igualadas novamente, temos o valor de "x".
$formdata=x=1$	O único intervalo que contém o 1 é o da letra "C". Note que nas respostas "A", "C" e "D" o número 1 aparece "aberto" (com parênteses) portanto não faz parte do conjunto. Resposta certa, letra "C"

2) (UNISINOS) Se $formdata=\frac{5,7}{0,003}=0,19\cdot+10^x$ , então x é:

(A) -1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8

- Primeiro vamos transformar todos os números decimais em frações (fica mais fácil):

$formdata=\frac{\frac{57}{10}}{\frac{3}{1000}}=\frac{19}{100}\cdot+10^x$

- Agora é só calcular:

$formdata=\frac{57}{10}\cdot{\frac{1000}{3}=\frac{19}{100}\cdot+10^x$

$formdata=19\cdot+100=19\cdot\frac{10^x}{100}$

$formdata=100\cdot+100=10^x$

$formdata=10000=10^x$

$formdata=10^4=10^x$

$formdata=x=4$

Resposta certa, letra "C".

3) (UFRGS) A solução da inequação $formdata=(0,5)^{(1-x)}>1$ é o conjunto

(A) $formdata=\{x\in\Re+|+x>1\}$
(B) $formdata=\{x\in\Re+|+x<1\}$
(C) $formdata=\{x\in\Re+|+x>0\}$
(D) $formdata=\{x\in\Re+|+x<0\}$
(E) $formdata=\Re$

- O lado direito da inequação podemos trocar por $formdata=(0,5)^0$ e já temos as bases igualadas.

$formdata=(0,5)^{(1-x)}>(0,5)^0$

Agora podemos cortar as bases.

Mas, atenção: quando temos a base menor do que 1 e maior que zero (0 < b < 1) devemos inverter a desigualdade ao cortar as bases.

(1-x) < 0
1-x < 0
-x < -1 Vamos multiplicar ambos os lados por -1 (lembre-se que quando fazemos isso devemos trocar novamente a desigualdade)
x > 1 Resposta certa letra "A".

4) (UNISINOS) Os valores de a e x para os quais a igualdade a^(x-3)⁰=3² é verdadeira

(A) a=1 e x=9
(B) a=3 e x=5
(C) para todo valor de x3 e a=9
(D) a=6 e x=5
(E) para qualquer valor de x3 e a=3

- A primeira coisa que devemos olhar é que o "a" está elevado na potência (x-3)⁰ que vale 1, mas nem sempre. Não podemos ter 0⁰ , portanto x3. Agora fica fácil:

a¹=3²
a=9 Resposta certa letra "C".

5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação é:

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 36
(E) 42

- Vamos utilizar as propriedades das potências e também tirar o MMC:

exeresolvi3.gif (1369 bytes)

- Agora cortando o denominador e igualdando à zero:

-6^2x+42·6^x-216=0
-(6^x)^²+42·6^x-216=0

- Neste momento devemos utilizar a técnica de troca de base. Vamos arbitrar 6^x=y e teremos:

-y²+42y-216=0

- Agora vamos resolver este equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara.

exeresolvi4.gif (2070 bytes)

- Esta não é a resposta, são os valores de y. Agora devemos substituir na fórmula criada por nós: 6^x=y.

6^x= 6

x = 1

6^x = 36

6^x= 6²

x = 2

- Como o exercício pede a soma dos valores: 2+1=3 Resposta certa, letra "C".

6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação 7^x-1-50=-7^3-x é:

(A) 3
(B) 4
(C) 2401
(D) 350
(E) 1

- Vamos primeiro utilizar as propriedades de potênciação e colocar esta equação em uma forma mais "amigável":

- Agora tirando o MMC:

- Pronto, podemos cortar o denominador e temos uma equação um tanto quanto mais amigável! Agora vamos arrumá-la para trocarmos a variável:

7^2x-350·7^x=-2401
(7^x)^²-350·7^x+2401=0

- Vamos efetuar a técnica de troca de variáveis. Dizemos 7^x=y e temos:

y²-350y+2401=0 Aplicando Bhaskara

exeresolvi7.gif (2578 bytes)

- Novamente, estes são os valores de "y", e não de "x". Para calcular os valores de "x" temos:

7^x=y
7^x=343
7^x=7³
x=3

7^x=y
7^x=7
x=1

- Como o exercício pede o produto dos valores, 3·1=3. Resposta certa, letra "A".

7) (IPA/IMEC) Se 2^x+2^-x=10 então 4^x+4^-x vale

(A) 40
(B) 50
(C) 75
(D) 98
(E) 100

- Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

- Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

exeresolvi9.gif (1227 bytes)

- Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:

exeresolvi10.gif (2155 bytes) Pronto, exercício resolvido. Resposta certa letra "D".

8) A solução da equação é:

(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1

- Primeiro de tudo, vamos efetuar a soma de frações do denominador da esquerda da equação:

exeresolvi11.gif (1107 bytes)

- Efetuando as operações:

8^x-1=-7·8^x
8^x+7·8^x=1 Colocando o 8^x em evidência
8^x·(1+7)=1
8^x·8=1 Multiplicação de potências de mesma base.
8^x+1=1 Sabemos que qualquer número elevado na potência ZERO vale 1.
8^x+1=8⁰ Cortando as bases
x+1=0
x=-1 Resposta certa, letra "E".