Polinômios e Equações Algébricas

I - Polinômios

1 - Definição:

Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i² = -1) .

Entende-se por polinômio em C à função:
P(x) = a_oxⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x + a_n , onde os números complexos a_o , a₁ , ... , a_n são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Exemplo :
P(x) = x⁵ + 3x² - 7x + 6 (a_o = 1 , a₁ = 0 , a₂ = 0 , a₃ = 3 , a₄ = -7 e a₅ = 6 ).
O grau de P(x) é igual a 5 .

Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:
Binômio : possuem dois termos. Exemplo : r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo : q(x) = 4x² + x - 1 ( grau 2).
A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios.

1.1 - Valor numérico do polinômio

Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m , ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x³ - 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þ p(-1) = (-1)³ - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 \ p(-1) = 6.

1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio

O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 .

Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x² + 1 , pois P(i) = 0 .
Lembre-se que i² = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1.
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x³ - 2x² - x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .

1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

Exemplos:
a) P(x) = 2x⁴ + 3x² - 7x + 10 ® S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x¹⁵⁶ + x?
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1¹⁵⁶ = 1).

IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)ⁿ , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida.
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)¹⁰² ?
Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)¹⁰² = (2-3)¹⁰² = (-1)¹⁰² = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).

Outro exemplo:
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)⁴ ?
Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = (5.1 + 1)⁴ = 6⁴ = 6.6.6.6 = 1296

2 - Identidade de polinômios

2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P º 0 (polinômio nulo) .
Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .

2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais .
Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P º Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais .
A expressão P º Q é denominada identidade .

Exercício resolvido:

Sendo P(x) = Q(x) + x² + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2) .

Solução:
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 1² + 1 + 1 \
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever :
P(2) = Q(2) + 2² + 2 + 1 \ 0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10.
Resp: 10

3 - Divisão de polinômios

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4 \ 46 = 6.7 + 4) .
2) gr R(x) < gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio.

Notas:
1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) .
2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .
3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .
4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .

3.1 - Resto da divisão pelo binômio x - a.

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .
Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ;
Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que
P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x - a .
Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert (1717 - 1783) , célebre matemático francês, que teve o seu no nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, perto da Notre Dame de Paris , em cujos degraus foi encontrado abandonado quando criança! ).

II - Equações Algébricas

Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto , as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .
Exemplo: 3x⁴ - 2x³ + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau .

Propriedades importantes :

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x³ - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini.
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será
raiz .
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os
números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)¹⁰ = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de
multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x³ = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x² - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x⁵ -10x³ + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x⁵ + 4x² = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x¹⁰⁰ + x¹² = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x₁ , x₂ , x₃ , ... , x_n são raízes da equação a_oxⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :
a_o (x - x₁) . (x - x₂) . (x - x₃) . ... . (x - x_n) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x³ - 54x² + 51x + 106 = 0 . (verifique!).

Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .
Para uma equação do 2º grau , da forma ax² + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x₁ e x₂ :
x₁ + x₂ = - b/a e x₁ . x₂ = c/a .

Para uma equação do 3º grau , da forma ax³ + bx² + cx + d = 0 , sendo x₁ , x₂ e x₃ as raízes , temos as seguintes relações de Girard :
x₁ + x₂ + x₃ = - b/a
x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
x₁.x₂.x₃ = - d/a

Para uma equação do 4º grau , da forma ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a
x₁ , x₂ , x₃ e x₄ , temos as seguintes relações de Girard :

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -b/a
x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a
x₁.x₂x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₁.x₃.x₄ + x₂.x₃.x₄ = - d/a
x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização das fórmulas

Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir:

1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:
P = -2x³ - 2x² + 2x -1 ; Q = ( 2x² + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 .
Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:
Resp: x² + (3/4)x + 13/16 e -7/16

2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x² )² e R = 5x + 2; então (PR)² - Q é:
Resp: - 400x²

3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x³ + ax + b por Q(x) = x² + x + 2 é 4, então a + b vale:
Resp: 3

4 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x³ + 9x² - 2x -1 = 0 está contido em:
a) [-2,-1)
*b) [-1,1)
c) [1,2)
d) [2,3)
e) [3,4)

5 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x⁴ - 3x³ + 3x - 2 = 0 é:

Resp: 3/2

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