Função exponencial

A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:

Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:



GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Função exponencial 0 <>	Função exponencial a > 1
f: lR lR x ax ● Domínio = lR ● Contradomínio = lR+ ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente decrescente. ● limx→ -∞ ax = + ∞ ● limx→ +∞ ax = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal	f: lR lR x ax ● Domínio = lR ● Contradomínio = lR+ ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente crescente. ● limx→ +∞ ax = + ∞ ● limx→ -∞ ax = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:

• a^x a^y= a^{x + y}
• a^x / a^y= a^{x - y}
• (a^x) ^y= a^x.y
• (a b)^x = a^x b^x
• (a / b)^x = a^x / b^x
• a^-x = 1 / a^x

Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...)

• y = e^x se, e somente se, x = ln(y)
• ln(e^x) =x
• e^x+y= e^x.e^y
• e^x-y = e^x/e^y
• e^x.k = (e^x)^k

A CONSTANTE DE EULER

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e) = 1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

e^x = exp(x)

O CRESCIMENTO POPULACIONAL
Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=N_o e^rt

Onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

É evidente que o gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Ke^x.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=N_oe^r.t. Na realidade, quando N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então N_o=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 e^r12

logo

e^12r=600/200=3

assim

ln(e^12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que:

12r=ln(3)

assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Assim:

N(48)=200 e^{48.(0,0915510)}= 16200 bactérias

Então, após 36 horas da última contagem, ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

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