Função

Uma aplicação é uma relação binária de A em B, em que todo elemento do conjunto A tem um e apenas um correspondente em B. Neste caso, o conjunto A, passa a ser denominado de domínio da aplicação, D(f) = A, e o conjunto B, de contradomínio da aplicação, CD(f) = B.

Uma função é uma aplicação em que o contradomínio é um subconjunto do conjunto dos

números reais. O estudo de funções é um dos mais importantes da matemática, pois analisa o

comportamento, o gráfico e as estruturas lógicas das relações binárias que satisfazem as

condições específicas.

Definição de função

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chamase função (ou aplicação) de A em B, representada
por f : A ® B ; y = f(x) , qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único
elemento de B .
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja
associado um único y Î B , podendo, entretanto, existir y Î B que não esteja associado a nenhum
elemento pertencente ao conjunto A.

Observações:

1) Na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está
associado a x através da função f.

f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e, por exemplo, se

portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5
pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

2) Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e
de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um
elemento do contradomínio .

3)Quando D(f) (domínio) Ì IR e CD(f) (contradomínio) Ì IR , sendo IR o conjunto dos números
reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática, costumamos
considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define,
sendo o conjunto dos valores possíveis para x chamado de domínio e o conjunto dos valores
possíveis para y chamado de conjunto imagem da função . Assim, por exemplo, para
a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = IR*, ou seja o conjunto
dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto
imagem é também IR* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e, portanto, y também não pode
ser zero.

4) Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados
(x,y) Î f onde x Î A e y Î B , num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido
será o gráfico da função f . Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico
cartesiano de uma função f , podemos dizer que:

a) a projeção da curva sobre o eixo dos x dá o domínio da função.

b) a projeção da curva sobre o eixo dos y dá o conjunto imagem da função.

c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráfico da

função em, no máximo, um ponto.

Veja a figura abaixo, relativa aos ítens (a), (b) e (c) acima:

Paridade das funções

a) Função par

A função y = f(x) é par quando "x Î D(f) , f(–x )

= f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(x)= f (–x). Portanto, numa função par,

elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que

os gráficos cartesiano das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou

eixo das ordenadas.

Exemplo:

y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(–x),

para todo x.

Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2)

= (–2)4 + 1 = 17

O gráfico abaixo é de uma função par.

b) Função ímpar

A função y = f(x) é ímpar quando "x Î D(f), f(–x) = –f (x) , ou seja, para todo elemento do

seu domínio, f(–x) = –f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem

imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções

ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos

cartesianos.

Exemplo:

y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x, teremos f(- x) = –f(x).

Por exemplo, f(–2)=(–2)3=–8 e –f(x)=–(23)=–8.

O gráfico abaixo é de uma função ímpar:

Observação:

Se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.

O gráfico abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é

simétrica em relação ao eixo dos x e não é simétrica em relação à origem.

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